近几年的高考试题中越来越明显地体现出研究性学习的基本特征.研究性学习是以“学会学习”为目标，以问题为载体，重视学习过程，重视知识的应用，重视多角度、全方位解决问题的一种学习方法.研究性学习试题要求考生凭借自己的基础知识和基本技能，迅速接受新信息，适应新情景，探寻新方法，解决新问题，以此来检测学生的学习潜能与创新精神.
一、主动探求，自觉培养创造意识
对知识进行积极主动探求的学习态度和方式是研究性学习的特色.探究是充满生机的心智活动，是在亲身实践活动中，从偶然中剥离“核心问题”的思维过程.这是一种创造行为，当达到基本上自觉时，就会形成一种创造意识.对下面两类习题的训练，能极大程度引发我们主动探求的欲望，在不知不觉中培养创造意识.
例 设{ａｎ}是集合{2ｔ +2ｓ—0≤ｓ <ｔ，且ｓ?熏ｔ∈ｚ?妖中所有的数从小到大排列成的数列，即ａ1=3，ａ2=5，ａ3=6，ａ4=9，ａ5=10，ａ6=12，……将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：
(1)写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；
(2)求ａ100.
分析：此类型是对数据规律的分析总结.对数据规律分析总结的思维过程，是研究性学习的重要组成部分.此题要求考生从分析相关数据入手，由具体到抽象，由特殊到一般，运用数学语言概括出规律，得出结论.从而锻炼科学探究能力，培养创新意识.
(1)令ｔ=1,ｓ=0得第一行的数为3；令ｔ=2,ｓ=0,1得第二行各数为5,6；令ｔ=2,ｓ=0,1,2得第三行各数为9,10,12.发现规律：令ｔ=ｋ,ｓ=0,1,2,Ⅴ?熏ｋ－1得第ｋ行各数.据此规律，令ｔ=4,ｓ=0,1,2,3得第四行各数为17,18,20,24；令ｔ=4,ｓ=0,1,2,3,4得第五行各数为33,34,36,40,48.
(2)先判断ａ100所在的行数：因为从上到下各行的项数1，2，3，……成等差数列，由<100，得ｎ2+ｎ－200<0(ｎ∈Ｎ*)，ｎ=13.所以知ａ100位于第１４行.再判断ａ100是第14行的第几个数：由=91知第13行的最后一项为ａ９１，因而ａ100是第14行的第9个数.由(ⅰ)的规律，令ｔ=14，ｓ=8得ａ100=214+28=16640.
例  已知常数a>0，向量=(0,ａ)，=(1,0).经过原点Ｏ以+λ为方向向量的直线与经过定点Ａ(0,ａ)以－2λ为方向向量的直线120相交于点Ｐ，其中λ∈Ｒ.试问：是否存在两个定点Ｅ、Ｆ，使得—ＰＥ—＋—ＰＦ—为定值，若存在，求出Ｅ、Ｆ的坐标；若不存在，说明理由.
分析：“凡对刺激能产生较多反应的人被称之为具有创造力的人”，此存在型问题最易引起定向探究反射，激活创造意识，而此正是研究性学习的最终目的.
联想椭圆的定义，问题等价于：动点的轨迹是否为椭圆？
∵＋λ＝?穴0?熏ａ?雪＋?穴λ?熏0?雪＝?穴λ?熏ａ?雪，∴直线ＯＰ的方程为λｙ＝ａｘ．
∵－2λ＝?穴1,0?雪－?穴0,2λａ?雪＝?穴1?熏－2λａ?雪．∴直线ＡＰ的方程为ｙ－ａ＝2λａｘ．
消去参数λ，得点Ｐ的轨迹方程为ｙ?穴ｙ－ａ?雪＝－2ａ2ｘ2，即＋＝1 ①
?穴ⅰ?雪当ａ＝时，方程①的轨迹是圆，故不存在满足题设的两个定点Ｅ、Ｆ；
?穴ⅱ?雪当0＜ａ＜时，方程①的轨迹是椭圆，焦点Ｅ?穴，?雪、Ｆ?穴－，)为满足题设的两个定点；
?穴ⅲ?雪当ａ＞时，方程①的轨迹也是椭圆，焦点Ｅ?穴0，?雪、Ｆ?穴0，?雪为满足题设的两个定点．
二、培养知识的迁移能力
研究性学习是注重培养对已学知识进行迁移的能力．研究性学习试题开放条件与结论，启发自己发现问题，按照科学的方法进行探究，综合应用所学知识解决新问题，也就是对知识进行迁移的能力．
例  已知椭圆Ｃ：+=1(ａ＞ｂ＞0)具有性质：若Ｍ、Ｎ是椭圆Ｃ上关于原点对称的两个点，点Ｐ是椭圆上任意一点，当直线ＰＭ、ＰＮ的斜率都存在，并记为ｋＰＭ、ｋＰＮ时，那么ｋＰＭ与ｋＰＮ之积是与点Ｐ位置无关的定值.试对双曲线－=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.
分析： 类比是一种从类似事物的启发中得到的创意，可以有效地培养学生的学习能力，优化学生的学习品质，这正是研究性学习所要追求的目标之一.类似的性质为：
若Ｍ、Ｎ是双曲线－=1上关于原点对称的两个点，点Ｐ是双曲线上任意一点，当直线ＰＭ、ＰＮ的斜率都存在，并记为ｋＰＭ、ｋＰＮ时，那么ｋＰＭ与ｋＰＮ之积是与点Ｐ位置无关的定值.
事实上，设点Ｐ、Ｍ、Ｎ的坐标分别为(ｘ0,ｙ0)、(ｘ1,ｙ1)、(－ｘ1,－ｙ1)，则ｋＰＭ=，ｋＰＮ=.
∵点Ｐ、Ｍ在双曲线上－=1.∴两式相减得=＜＝＞＝，即ｋＰＭ·ｋＰＮ=(定值?雪．
例 规定Ｃｘｍ＝，其中ｘ∈Ｒ，ｍ是正整数，且Ｃｘ0=1，这是组合数Ｃｎｍ?穴ｎ、ｍ是正整数，且ｍ≤ｎ?雪的一种推广．组合数的两个性质：①Ｃｎｍ＝ Ｃｎｎ－ｍ；②Ｃｎｍ＋Ｃｎｍ－1＝Ｃｎ＋1ｍ．是否都能推广到Ｃｘｍ?穴ｘ∈Ｒ，ｍ是正整数?雪的情形?芽若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能；则说明理由。
分析：推广数学命题，以思维接力的方式进行创新，不失为一种开展数学研究性学习的好方法，往往会产生出有价值的成果来．
性质①不能推广，反例如，当ｘ＝时，Ｃ有意义，但Ｃ无意义．
性质②能推广：Ｃｘｍ＋Ｃｘｍ－1＝Ｃｘ＋1ｍ?穴ｘ∈Ｒ，ｍ∈Ｎ?觹?雪．
事实上，当ｍ＝1时，Ｃｘ1＋Ｃｘ0＝ｘ＋1＝Ｃｘ＋11．
当ｍ≥2时，Ｃｘｍ＋Ｃｘｍ－1＝＋＝＝Ｃｘ＋1m．
三、培养数学建模的能力
数学建模是研究性学习的重要内容，创制让学生发挥主动性和建构性的命题形式，将对推进素质教育产生不可低估的影响．
例  已知长方形的四个顶点Ａ(0，0)、Ｂ(2，1)、Ｃ(0，1)和Ｄ(0，1).一质点从ＡＢ的中点Ｐ0沿与ＡＢ夹角为θ的方向射到ＢＣ上的点Ｐ1后，依次反射到ＣＤ、ＤＡ和ＡＢ上的点Ｐ2、Ｐ3和Ｐ４ (入射角等于反射角).
设Ｐ4的坐标为(ｘ4,0).若1<ｘ4<0，则ｔａｎθ的取值范围是
(A)(,1)  (B)(,)  (C)(,)  (D)(,)
分析：根据反射定律，建立数学模型，疑难也就迎刃而解.很好地考查了学生综合应用所学知识解决问题的能力.把长方形打开如图.问题等价于过点，的直线与直线的交点落在区间，，则有.故选.
例  某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市O(如图2)的东偏南θ(θ=arccosθ?雪方向300ｋｍ的海面Ｐ处，并以20ｋｍ/ｈ的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为６０ｋｍ，并以１０ｋｍ/ｈ的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?
分析：数学与现实沟通.选取与社会生活自然联系的问题，展开研究性学习，提高数学建模能力，使学生感到今天的学习是为明天推动经济社会发展的需要.
设ｎ小时后台风移到点Ｍ处，则ＭＰ=20ｎ，台风半径ｒｍ=10ｎ+60.
又ｃｏｓ∠ＯＰＭ=ｃｏｓ(ａｒｃｃｏｓ－45°)=.
由余弦定理有ＯＭ2=(20ｎ)2+3002－2×200×300×.
依题设有(10ｎ+60)2≥(20ｎ)2+300２－2×20ｎ300×，
解得12≤ｎ≤24.∴12小时后，该城市开始受到台风的侵袭．
四、倡导手脑并用
手脑并用，通过“做数学”来学习数学，使研究性学习充满活力，激发学生对知识的需求，产生“学习促发展”和“发展促学习”的积极效应．
例 (1)给出两块面积相同的正三角形纸片(如图3-1，图3-2)，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图3-1，图3-2中，并作简要说明；
(2)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
(3)如果给出的是一块任意三角形纸片(如图)，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3-3中， 并作简要说明.
分析：此题具有操作性和开放性，为考生解题自主性和个性的发挥，创设了条件和空间，所体现的能力要求跟研究性学习课程的目标是相同的.
(1)如图3-4，沿三角形的三条中线折起，使三角形的三个顶点重合为一点，拼得正三棱锥.
如图3-5，作出三角形的中心，连结中心与顶点得三条线段，分别过三条线段的中点作各边的垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，把剩下部分的三个矩形沿虚线折起成三棱柱的侧面，剪下的三个四边形拼成三棱柱的上底面.
(2)设正三角形纸片的边长为2，则：
Ｖ锥=··=，Ｖ柱=·=.∵?穴?雪2＜?穴?雪2，∴Ｖ锥=V柱.
?穴3?雪如图3-6，作出三角形的内心，分别连结内心与顶点得三条线段， 分别过三条线段的中点作各边的垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，把剩下部分的三个矩形沿虚线折起成三棱柱的侧面，剪下的三个四边形拼成三棱柱的上底面．